Методы линейного программирования в экономике

VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум — 2016

МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Метод линейного программирования дает возможность аргументировать наилучшее экономическое решение в обстоятельствах строгих ограничений, имеющих отношение к применяемым в изготовлении ресурсам (основные фонды, использованные материалы, рабочие средства). Использование данного метода в экономическом рассмотрении дает возможность регулировать проблемы, связанные главным образом с планированием работы компании. Этот метод может помочь установить подходящие величины выпуска продукта, а кроме того тенденции более результативного применения существующих в директиве компании производственных ресурсов.

Математическое программирование может использоваться и в отношении тех экономических явлений, взаимосвязь между которыми не считается линейной. Для данной цели могут быть применены методы нелинейного, динамического и выпуклого программирования.

Нелинейное программирование опирается на нелинейный характер целевой функции или ограничений, либо и того и другого. Формы целевой функции и неравенств ограничений в этих условиях могут быть различными.

Нелинейное программирование используется в экономическом анализе в частности, при установлении связи среди признаков, выражающих эффективность работы компании и размер данной работы, текстуру расходов в производстве, конъюнктуру торга и т.д.

Динамическое программирование основывается на концепции дерева заключений. Любой уровень данного дерева служит стадией для установления результатов прошлого постановления и для ликвидации неэффективных альтернатив данного постановления. Таким образом, динамическое программирование содержит многостадийный, многоэтапный вид. Данный тип программирования используется в экономическом анализе с целью отыскивания подходящих альтернатив формирования компании как в настоящее время, так и в будущем.

Выпуклое программирование предполагает собою разновидность нелинейного программирования. Данный тип программирования выражает нелинейный вид связи среди итогов работы компании и исполняемыми ею расходами. Выпуклое (по другому вогнутое) программирование исследует выпуклые целевые функции и выпуклые системы ограничений (точки допустимых значений). Выпуклое программирование используется в анализе хозяйственной деятельности с целью минимизации расходов, а вогнутое — с целью максимизации прибыли в обстоятельствах существующих ограничений воздействия условий, оказывающих большое влияние в рассматриваемых характеристиках противоположным образом. Следовательно, при анализируемых типах программирования выпуклые целевые функции минимизируются, а вогнутые-максимизируются.

Одним из основных методов линейного программирования является симплексный метод- это метод направленного перебора основных решений задачи. Он дает возможность за конечное число шагов расчета или отыскать наилучшее решение, или определить, то что рационального решения не существует.

Сущность метода: построение базисных решений, на которых монотонно убывает линейный функционал, до ситуации, когда выполняются необходимые условия локальной оптимальности.

Рассмотрим данный метод на примере решения следующей задачи.

Предприятие ООО «Пшеница» предполагает выпускать два вида продукции: печенье и пряники, для производства которых используется сырьё трех видов: мука, сахар, дрожжи. Производство обеспечено сырьем каждого вида в количествах: 750, 807, 840 кг. На изготовление печенья требуется затратить сырья каждого вида 5, 4, 1 кг, соответственно, а для пряников — 2, 5, 7 кг. Прибыль от реализации печенья составляет 30 ден. ед., для пряников — 49 ден. ед.

Занесём необходимые нам данные во вспомогательную таблицу:

Линейное программирование в экономическом анализе

История появления линейного программирования

Основа выполнения любой задачи – это приятие кем-либо оптимального решения. Оптимальное решение позволяет достичь цель в заданных условиях с максимальным эффектом. Появление математических исследований конкретных проблем экономики приходится на конец 19-го- начало 20-го века.

К. Маркс описал в своей модели расширенного воспроизводства традиционное использование математических методов для формализованной характеристики. Данная модель стала первой макроэкономической моделью, которая позволяет открыть важные особенности производства.

Создатель математической школы Л. Вальрас в 1974 году разработал единую статистическую экономико-математическую модель народного хозяйства, которая стала называться системой общего равновесия экономики.

В модели Вальраса рациональными элементами являются постановка экстремальной задачи на экономики в целом и подход к стоимости как составляющей поиска общего оптимума.

В 1897 году известным буржуазным экономистом-математиком Парето на основе статистического материала была установлена закономерность распределения доходов в обществе в виде гиперболы – «кривая Парето».

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

В 1904 году русский экономист-математик В. К. Дмитриев создал уравнения связи расходов и выпуска продукции, использованные в дальнейшем американским экономистом В. Леонтьевым с целью построения баланса «затраты-выпуск».

Данные работы являются первыми попытками построить экономико-математическую модель. Их разработка разделила экономико-математический анализ статистических данных на два направления:

1. Использование методов с целью характеристики экономических явлений;
2. Для определения зависимости между ними.

В 1939 году ленинградским государственным университетом была выпущена книга Л.В. Канторовича «Математические методы организации и планирования производства». И лишь только через десять лет метод линейного программирования был переоткрыт в другой форме в США. Статьи по данной проблеме были опубликованы в 1949 году, в них Дж. Данциг излагал свой симплексный метод, который имеет много общих черт с методом последовательного преобразования плана, применявшимся Л. В. Канторовичем в решении практических задач.

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Еще до Канторовича в России публиковались работы, содержавшие предпосылки к определению линейного программирования. Например, в 1930 году экономисты-транспортники, чтобы построить оптимальный план перевозок, разработали транспортную задачу в сетевом виде и решили ее без использования математического обоснования.

Работы по линейному программированию стали часто издаваться в 1950-х годах, когда велась детальная разработка основных методов решения, создавалось множество различных алгоритмов, применялись в практике новые методы, появлялась обширная литература.

Помимо методов решения задач линейного программирования, выпускались работы, содержащие методы динамического и нелинейного программирования.

Характеристика метода линейного программирования

Линейное программирование в экономическом анализе позволяет обосновать наиболее оптимальные экономические решения при жестких ограничениях, которые относятся к применяемым ресурсам в производстве (основные фонды, трудовые ресурсы, материалы и т.д.).

Применяя данный метод, можно решать задачи планирования деятельности предприятия. С его помощью можно определить оптимальную величину выпуска продукции, направления эффективного применения имеющихся производственных ресурсов.

Метод линейного программирования позволяет решать экстремальные задачи, когда определяются крайние значения, т.е. максимум и минимум функций переменных.

Линейное программирование применяется также при анализе переменных величин, когда имеют место определенные ограничивающие факторы.

Распространено решение транспортной задачи посредством линейного программирования. Сущность данной задачи состоит в минимизации затрат, которые возникают при эксплуатации транспортных средств в условиях ограничений относительно количества данных транспортных средств, продолжительности работы, грузоподъемности и т.д.

Помимо этого, линейное программирование позволяет решить задачу составления расписания. Необходимо распределить время функционирования персонала таким образом, чтобы оно было приемлемым для каждого сотрудника, а также для клиентов компании. Задача в данном случае состоит в максимизации количества клиентов при ограничениях количества персонала и рабочего времени.

Из всего вышесказанного следует, что линейное программирование в экономическом анализе весьма распространено: оно применяется при анализе использования и размещения ресурсов, при планировании и прогнозировании деятельности компании.

Общая задача линейного программирования

Среди большого количества оптимизационных задач выделяются задачи линейного программирования, которые имеют специфические черты.

В каждой задаче элементы решения – это ряд неотрицательных переменных $x_1, x_2,…, x_n$. Следует так выбирать значения данных переменных, чтобы:

• Действовали некоторые ограничения вида линейных неравенств или же неравенств в отношении переменных $x_1, x_2,…, x_n$.
• Линейная функция $f$ переменных являлась максимумом (минимумом).

Общая задача линейного программирования – это задача, где оптимизируемая функция цели является линейной комбинацией известных коэффициентов $c_j$ и неизвестных переменных $x_j$ вида:

Рисунок 1. Функция. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Функция $f$ также называется целевой функцией или же критерием эффективности.

Найти решение задачи линейного программирования означает отыскать значения переменных $x_j$, которые удовлетворяют ограничениям, а целевая функция при таких значениях принимает максимальное или минимальное значение.

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

100. Методы линейного программирования

100. Методы линейного программирования

Методы линейного программирования применяются для решения многих экстремальных задач, с которыми довольно часто приходится иметь дело в экономике. Решение таких задач сводится к нахождению крайних значений (максимума и минимума) некоторых функций переменных величин.

Линейное программирование основано на решении системы линейных уравнений (с преобразованием в уравнения и неравенства), когда зависимость между изучаемыми явлениями строго функциональна. Для него характерны математическое выражение переменных величин, определенный порядок, последовательность расчетов (алгоритм), логический анализ. Применять его можно только в тех случаях, когда изучаемые переменные величины и факторы имеют математическую определенность и количественную ограниченность, когда в результате известной последовательности расчетов происходит взаимозаменяемость факторов, когда логика в расчетах, математическая логика совмещаются с логически обоснованным пониманием сущности изучаемого явления.

С помощью этого метода в промышленном производстве, например, исчисляется оптимальная общая производительность машин, агрегатов, поточных линий (при заданном ассортименте продукции и иных заданных величинах), решается задача рационального раскроя материалов (с оптимальным выходом заготовок).

Все экономические задачи, решаемые с применением линейного программирования, отличаются альтернативностью решения и определенными ограничивающими условиями. Решить такую задачу – значит выбрать из всех допустимо возможных (альтернативных) вариантов лучший, оптимальный. Важность и ценность использования в экономике метода линейного программирования состоят в том, что оптимальный вариант выбирается из весьма значительного количества альтернативных вариантов. При помощи других способов решать такие задачи практически невозможно.

Весьма типичной задачей, решаемой с помощью линейного программирования, является транспортная задача. Она решается симплекс-методом или распределительным методом.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.

Читать книгу целиком

Похожие главы из других книг:

4.5. Методы исследования

4.5. Методы исследования Методы маркетинговых исследований – это ряд научных методов, применяемых в целях маркетинга и решения его проблем.Традиционные методы маркетинговых исследований (исходные) представлены ниже.• Наблюдение — один из возможных способов сбора

10.3. Методы ценообразования

10.3. Методы ценообразования Выбор метода ценообразованияЗная график спроса, расчетную сумму издержек и цены конкурентов, фирма готова к выбору цены собственного товара. Цена эта будет где-то в промежутке между слишком низкой, не обеспечивающей прибыли, и слишком высокой,

84. Методы элементарной математики, математической статистики и теории вероятностей, эконометрические методы

84. Методы элементарной математики, математической статистики и теории вероятностей, эконометрические методы При обосновании потребностей в ресурсах, учете затрат на производство, разработке планов, проектов, балансовых расчетах в обычных традиционных экономических

85. Методы математического программирования и исследования операций

85. Методы математического программирования и исследования операций Методы математического программирования – важный раздел современной прикладной математики. Они служат основным средством решения экономических задач; оптимизации хозяйственной деятельности. По

Методы исследований

Методы исследований Можно выделить следующие методы и инструментарий, которые используются для сбора информации о клиентах, каждый из которых подходит для разных типов ситуаций, продуктов и решения различных типов маркетинговых

1.10. Создание сайтов и услуги программирования

1.10. Создание сайтов и услуги программирования Сегодня практически любая компания имеет свой собственный сайт, кроме того, многим нужны услуги программирования, например, создание баз данных, специальных программ по учету персонала, составлению расписания работы служб,

Методы развития

Методы развития Необходимым условием для развития способностей, которые находятся в латентной форме или человеком в себе не замечаются, является среда, в которой эти способности востребованы, а их наличие поощряется. Среда в данном случае означает задачи, работу,

Методы

Методы • Откуда мастер знает, что люди выполняют свою работу правильно? Это будет ясно, если над каждым рабочим местом повесить инструкции. В них надо указать последовательность работы, время цикла, меры безопасности, точки контроля качества, а также что делать, когда

Методы

Методы Методы в контексте BPM определяются как подходы и приемы, которые обеспечивают и поддерживают согласованные действия процесса. Специальные методы могут применяться к главным дискретным стадиям цикла существования процесса. Эта характеристика, присущая только

Методы распределения

Методы распределения Метод личных продаж используется для организации дистрибьюторской сети и обеспечения поддержки реселлеров независимо от того, на каком рынке реализуется продукция – потребительском или промышленном. При этом функциональные обязанности

Методы

Методы Исходно каждый метод ТОС уникален. Применение теории в новой ситуации всегда приводит к некоему уникальному решению. Зачастую частные решения становятся универсальными и применяются как инструменты преобразований.Например, в романе «Цель» Голдратт описывает

Глава 7. Управление разумом с целью программирования успешного дня

Глава 7. Управление разумом с целью программирования успешного дня Визуализация и воображение ведут к ясновидению. В предыдущей главе вы начали практиковаться с визуализацией. В этой главе вы начинаете практику воображения.В чем разница? При визуализации мы опираемся на

Способы программирования людей

Способы программирования людей Мы все обладаем свободной волей. Мы не можем своей волей отнимать свободную волю у других. Это значило бы создавать проблемы для других. Мозговые нейроны запрограммированы на решение проблем, а не на их создание.Менеджер может войти в свой

Метод линейного программирования в экономическом анализе

Дата добавления: 2015-09-15 ; просмотров: 3238 ; Нарушение авторских прав

Метод линейного программирования дает возможность обосновать наиболее оптимальное экономическое решение в условиях жестких ограничений, относящихся к используемым в производстве ресурсам (основные фонды, материалы, трудовые ресурсы). Применение этого метода в экономическом анализе позволяет решать задачи, связанные главным образом с планированием деятельности организации. Данный метод помогает определить оптимальные величины выпуска продукции, а также направления наиболее эффективного использования имеющихся в распоряжении организации производственных ресурсов.

При помощи этого метода осуществляется решение так называемых экстремальных задач, которое заключается в нахождении крайних значений, то есть максимума и минимума функций переменных величин.

Этот период базируется на решении системы линейных уравнений в тех случаях, когда анализируемые экономические явления связаны линейной, строго функциональной зависимостью. Метод линейного программирования используется для анализа переменных величин при наличии определенных ограничивающих факторов.

Весьма распространено решение так называемой транспортной задачи с помощью метода линейного программирования. Содержание этой задачи заключается в минимизации затрат, осуществляемых в связи с эксплуатацией транспортных средств в условиях имеющихся ограничений в отношении количества транспортных средств, их грузоподъемности, продолжительности времени их работы, при наличии необходимости обслуживания максимального количества заказчиков.

Кроме этого, данный метод находит широкое применение при решении задачи составления расписания. Эта задача состоит в таком распределении времени функционирования персонала данной организации, которое являлось бы наиболее приемлемым как для членов этого персонала, так и для клиентов организации.

Данная задача заключается в максимизации количества обслуживаемых клиентов в условиях ограничений количества имеющихся членов персонала, а также фонда рабочего времени.

Таким образом, метод линейного программирования весьма распространен в анализе размещения и использования различных видов ресурсов, а также в процессе планирования и прогнозирования деятельности организаций.

Все же математическое программирование может применяться и в отношении тех экономических явлений, зависимость между которыми не является линейной. Для этой цели могут быть использованы методы нелинейного, динамического и выпуклого программирования.

Нелинейное программирование опирается на нелинейный характер целевой функции или ограничений, либо и того и другого. Формы целевой функции и неравенств ограничений в этих условиях могут быть различными.

Нелинейное программирование применяется в экономическом анализе в частности, при установлении взаимосвязи между показателями, выражающими эффективность деятельности организации и объемом этой деятельности, структурой затрат на производство, конъюнктурой рынка, и др.

Динамическое программирование базируется на построении дерева решений. Каждый ярус этого дерева служит стадией для определения последствий предыдущего решения и для устранения малоэффективных вариантов этого решения. Таким образом, динамическое программирование имеет многошаговый, многоэтапный характер. Этот вид программирования применяется в экономическом анализе с целью поиска оптимальных вариантов развития организации как в настоящее время, так и в будущем.

Выпуклое программирование представляет собой разновидность нелинейного программирования. Этот вид программирования выражает нелинейный характер зависимости между результатами деятельности организации и осуществляемыми ей затратами. Выпуклое (иначе вогнутое) программирование анализирует выпуклые целевые функции и выпуклые системы ограничений (точки допустимых значений). Выпуклое программирование применяется в анализе хозяйственной деятельности с целью минимизации затрат, а вогнутое — с целью максимизации доходов в условиях имеющихся ограничений действия факторов, влияющих на анализируемые показатели противоположным образом. Следовательно, при рассматриваемых видах программирования выпуклые целевые функции минимизируются, а вогнутые — максимизируются.

Лекция 3: Математическое программирование. Линейное программирование. Виды задач линейного программирования. Постановка задач линейного программирования и исследование их структуры. Решение задач линейного программирования симплекс-методом

1. Понятие математического программирования

Математическое программирование – это математическая дисциплина, в которой разрабатываются методы отыскания экстремальных значений целевой функции среди множества ее возможных значений, определяемых ограничениями.

Наличие ограничений делает задачи математического программирования принципиально отличными от классических задач математического анализа по отысканию экстремальных значений функции. Методы математического анализа для поиска экстремума функции в задачах математического программирования оказываются непригодными.

Для решения задач математического программирования разработаны и разрабатываются специальные методы и теории. Так как при решении этих задач приходится выполнять значительный объем вычислений, то при сравнительной оценке методов большое значение придается эффективности и удобству их реализации на ЭВМ.

Математическое программирование можно рассматривать как совокупность самостоятельных разделов, занимающихся изучением и разработкой методов решения определенных классов задач.

В зависимости от свойств целевой функции и функции ограничений все задачи математического программирования делятся на два основных класса:

• задачи линейного программирования,
• задачи нелинейного программирования .

Если целевая функция и функции ограничений – линейные функции, то соответствующая задача поиска экстремума является задачей линейного программирования. Если хотя бы одна из указанных функций нелинейна, то соответствующая задача поиска экстремума является задачей нелинейного программирования .

2. Понятие линейного программирования. Виды задач линейного программирования

Линейное программирование (ЛП) – один из первых и наиболее подробно изученных разделов математического программирования . Именно линейное программирование явилось тем разделом, с которого и начала развиваться сама дисциплина » математическое программирование «. Термин «программирование» в названии дисциплины ничего общего с термином «программирование (т.е. составление программы) для ЭВМ» не имеет, т.к. дисциплина » линейное программирование » возникла еще до того времени, когда ЭВМ стали широко применяться для решения математических, инженерных, экономических и др. задач.

Термин » линейное программирование » возник в результате неточного перевода английского » linear programming «. Одно из значений слова «programming» — составление планов, планирование. Следовательно, правильным переводом английского » linear programming » было бы не » линейное программирование «, а «линейное планирование», что более точно отражает содержание дисциплины. Однако, термины линейное программирование , нелинейное программирование, математическое программирование и т.д. в нашей литературе стали общепринятыми и поэтому будут сохранены.

Итак, линейное программирование возникло после второй мировой войны и стало быстро развиваться, привлекая внимание математиков, экономистов и инженеров благодаря возможности широкого практического применения, а также математической стройности.

Можно сказать, что линейное программирование применимо для решения математических моделей тех процессов и систем, в основу которых может быть положена гипотеза линейного представления реального мира.

Линейное программирование применяется при решении экономических задач, в таких задачах как управление и планирование производства; в задачах определения оптимального размещения оборудования на морских судах, в цехах; в задачах определения оптимального плана перевозок груза (транспортная задача); в задачах оптимального распределения кадров и т.д.

Задача линейного программирования (ЛП), как уже ясно из сказанного выше, состоит в нахождении минимума (или максимума) линейной функции при линейных ограничениях.

Общая форма задачи имеет вид: найти при условиях

Наряду с общей формой широко используются также каноническая и стандартная формы. Как в канонической, так и в стандартной форме