Semenalidery.com

IT Новости из мира ПК
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Экономическая интерпретация задач линейного программирования

Экономическая интерпретация двойственной задачи и теории двойственности

Экономико-математический анализ решений. Сформулируем экономические выводы на примере пары двойственных задач, приведенных выше:

  1. для любого допустимого плана производства X и любого допустимого вектора оценки ресурсов Y общая созданная стоимость не превосходит суммарной оценки ресурсов;
  2. если задача определения оптимального плана, максимизирующего выпуск продукции разрешима, то разрешима и задача определения оценок ресурсов. Причем цена продукции, полученная при реализации оптимального плана совпадает с суммарной оценкой ресурсов.
    Оценки выступают как инструмент балансирования затрат и результатов. Двойственные оценки обладают тем свойством, что они гарантируют рентабельность оптимального плана, т.е. равенство общей оценки продукции и ресурсов, и обуславливают убыточность всякого другого плана, отличного от оптимального;
  3. если по некоторому оптимальному плану X* производства расход i -го ресурса строго меньше его запаса Ьъ то в оптимальном плане соответствующая двойственная оценка единицы этого ресурса равна нулю. Если же в некотором оптимальном плане оценок Y* его j-ая компонента строго больше нуля, то в оптимальном плане производства расход соответствующего ресурса равен его запасу. Значит, двойственные оценки могут служить мерой дефицитности ресурса;
  4. двойственные оценки ресурсов показывают, на сколько денежных единиц изменится максимальная прибыль от реализации продукции при изменении запаса соответствующего ресурса на одну единицу.

Экономико-математический анализ решений осуществляется в двух направлениях: в виде вариантных расчетов по моделям с сопоставлением различных вариантов плана и в виде анализа каждого из полученных решений с помощью двойственных оценок.
Одно из эффективных средств экономико-математического анализа — использование двойственных оценок оптимального плана, которые выступают:

  • как мера дефицитности ресурсов и продукции;
  • как мера влияния ограничений на целевую функцию;
  • как инструмент определения эффективности отдельных вариантов;
  • как инструмент балансирования затрат и результатов.

Следует отметить, что двойственные оценки ресурсов позволяют судить об эффекте не любых, а лишь сравнительно небольших изменений ресурсов. При резких изменениях ресурсов сами оценки могут стать другими, что приведет к невозможности их использования для анализа эффективности производства.

Переменные у 1, у2, у3 будут обозначать условную предполагаемую цену за ресурс 1, 2, 3 вида соответственно. Тогда доход от продажи видов сырья, расходуемых на производство одной единицы продукции I, равен: 5у1 + 1· у3. Т.к. цена продукции I типа равна 3 ед., то 5у1 + у3 ≥ 3, в силу того, что интересы предприятия требуют, чтобы доход от продажи сырья был не меньше, чем от реализации продукции. Именно в силу такого экономического толкования система ограничений двойственной задачи принимает вид:

А целевая функция G = 400y1 + 300y2 + 100y3 подсчитывает условную суммарную стоимость всего имеющегося сырья. Понятно, что в силу I теоремы двойственности F(x*) = G(y*) равенство означает, что максимальная прибыль от продажи всей готовой продукции совпадает с минимальной условной ценой ресурсов. Условные оптимальные цены уi показывают наименьшую стоимость ресурсов, при которой выгодно обращать эти ресурсы в продукцию, производить.

Еще раз обратим внимание на то, что уi — это лишь условные, предполагаемые, а не реальные цены на сырье. Тот факт, что у1* = 0 вовсе не означает, что реальная цена первого ресурса нулевая. Равенство нулю условной цены означает лишь, что этот ресурс не израсходован полностью, имеется в излишке, недефицитен. Действительно, посмотрим на первое неравенство в системе ограничений задачи I, в котором подсчитывается расход первого ресурса: 5х1* + 0,4х2* + 2х3* + 0,5х4* = 66 X не изменится: ΔFmax=Δc1*x1=(20-3)*0=0
В данном случае, значение целевой функции не изменилось, поскольку в оптимальном плане x1=0.

Экономическая интерпретация решения задач линейного программирования;

Любая экономико-математическая модель лишь упрощенно, грубо отражает реальный экономический процесс, и это упрощение существенно сказывается на получаемых результатах.

Получить оптимальное решение задачи линейного программирования можно с помощью компьютера, если предварительно подготовить и ввести в компьютерную программу необходимые данные. Но исследователя вряд ли бы устроила заключительная симплекс-таблица, из которой можно было бы получить только список переменных и их значения. Ведь для экономистов важно не столько найти оптимальный план задачи, сколько провести исчерпывающий экономико-математический анализ модели.

Читать еще:  Языки программирования низкого уровня список

На самом же деле результирующая симплекс-таблица содержит весьма важные данные, лишь небольшую часть которых составляют оптимальные значения переменных. Из симплекс-таблицы можно получить информацию относительно:

1. Оптимального решения;

2. Статуса ресурсов;

3. Ценности каждого вида ресурсов;

4. Чувствительности оптимального решения к изменению запасов ресурсов, вариациям коэффициентов целевой функции и интенсивности потребления ресурсов.

Сведения, относящиеся к первым трем пунктам можно получить из итоговой симплекс-таблицы. Получение информации, относящейся к четвертому пункту, требует дополнительных вычислений.

С точки зрения практического использования результатов решения задач линейного программирования классификация переменных на базисные и небазисные не имеет значения и при анализе оптимального решения может не учитываться. Переменные, отсутствующие в симплекс таблице в столбце «базисные переменные», обязательно имеют нулевое значение. Значения остальных переменных приводятся в столбце «свободные члены».

Статус ресурса определяется тем является ли он дефицитным или недефицитным, то есть полное или частичное его использование предусматривает оптимальное решение задачи. Соответствующую информацию можно получить по значениям дополнительных переменных. Положительные значения которых указывают на неполное использование соответствующего ресурса, т. е. данный ресурс является недефицитным. Если же дополнительная переменная равна нулю, то это свидетельствует о полном потреблении ресурса.

Если в результате анализа выявляется, что дефицитным является ни один ресурс, а несколько, возникает вопрос: какому из дефицитных ресурсов следует отдать предпочтение при вложении дополнительных средств на увеличение их запасов, с тем чтобы получить от них максимальную отдачу. Ответ на этот вопрос можно получить, рассмотрев ценность различных ресурсов.

Ценность ресурса характеризуется величиной улучшения оптимального значения Z, приходящегося на единицу прироста объема данного ресурса. Ценность ресурса нельзя отождествлять с действительной ценой ресурса, по которой возможна его закупка, так как ценность ресурса – это некоторая экономическая мера, количественно характеризующая ресурс относительно полученного оптимального значения Z.

Таким образом, анализ модели не менее важен, чем получение оптимального решения по модели, а в некоторых случаях анализ дает больше информации для принятия решения, чем само решение.

Линейное программирование в экономическом анализе

История появления линейного программирования

Основа выполнения любой задачи – это приятие кем-либо оптимального решения. Оптимальное решение позволяет достичь цель в заданных условиях с максимальным эффектом. Появление математических исследований конкретных проблем экономики приходится на конец 19-го- начало 20-го века.

К. Маркс описал в своей модели расширенного воспроизводства традиционное использование математических методов для формализованной характеристики. Данная модель стала первой макроэкономической моделью, которая позволяет открыть важные особенности производства.

Создатель математической школы Л. Вальрас в 1974 году разработал единую статистическую экономико-математическую модель народного хозяйства, которая стала называться системой общего равновесия экономики.

В модели Вальраса рациональными элементами являются постановка экстремальной задачи на экономики в целом и подход к стоимости как составляющей поиска общего оптимума.

В 1897 году известным буржуазным экономистом-математиком Парето на основе статистического материала была установлена закономерность распределения доходов в обществе в виде гиперболы – «кривая Парето».

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

В 1904 году русский экономист-математик В. К. Дмитриев создал уравнения связи расходов и выпуска продукции, использованные в дальнейшем американским экономистом В. Леонтьевым с целью построения баланса «затраты-выпуск».

Данные работы являются первыми попытками построить экономико-математическую модель. Их разработка разделила экономико-математический анализ статистических данных на два направления:

  1. Использование методов с целью характеристики экономических явлений;
  2. Для определения зависимости между ними.

В 1939 году ленинградским государственным университетом была выпущена книга Л.В. Канторовича «Математические методы организации и планирования производства». И лишь только через десять лет метод линейного программирования был переоткрыт в другой форме в США. Статьи по данной проблеме были опубликованы в 1949 году, в них Дж. Данциг излагал свой симплексный метод, который имеет много общих черт с методом последовательного преобразования плана, применявшимся Л. В. Канторовичем в решении практических задач.

Читать еще:  Темы курсовых проектов по программированию

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Еще до Канторовича в России публиковались работы, содержавшие предпосылки к определению линейного программирования. Например, в 1930 году экономисты-транспортники, чтобы построить оптимальный план перевозок, разработали транспортную задачу в сетевом виде и решили ее без использования математического обоснования.

Работы по линейному программированию стали часто издаваться в 1950-х годах, когда велась детальная разработка основных методов решения, создавалось множество различных алгоритмов, применялись в практике новые методы, появлялась обширная литература.

Помимо методов решения задач линейного программирования, выпускались работы, содержащие методы динамического и нелинейного программирования.

Характеристика метода линейного программирования

Линейное программирование в экономическом анализе позволяет обосновать наиболее оптимальные экономические решения при жестких ограничениях, которые относятся к применяемым ресурсам в производстве (основные фонды, трудовые ресурсы, материалы и т.д.).

Применяя данный метод, можно решать задачи планирования деятельности предприятия. С его помощью можно определить оптимальную величину выпуска продукции, направления эффективного применения имеющихся производственных ресурсов.

Метод линейного программирования позволяет решать экстремальные задачи, когда определяются крайние значения, т.е. максимум и минимум функций переменных.

Линейное программирование применяется также при анализе переменных величин, когда имеют место определенные ограничивающие факторы.

Распространено решение транспортной задачи посредством линейного программирования. Сущность данной задачи состоит в минимизации затрат, которые возникают при эксплуатации транспортных средств в условиях ограничений относительно количества данных транспортных средств, продолжительности работы, грузоподъемности и т.д.

Помимо этого, линейное программирование позволяет решить задачу составления расписания. Необходимо распределить время функционирования персонала таким образом, чтобы оно было приемлемым для каждого сотрудника, а также для клиентов компании. Задача в данном случае состоит в максимизации количества клиентов при ограничениях количества персонала и рабочего времени.

Из всего вышесказанного следует, что линейное программирование в экономическом анализе весьма распространено: оно применяется при анализе использования и размещения ресурсов, при планировании и прогнозировании деятельности компании.

Общая задача линейного программирования

Среди большого количества оптимизационных задач выделяются задачи линейного программирования, которые имеют специфические черты.

В каждой задаче элементы решения – это ряд неотрицательных переменных $x_1, x_2,…, x_n$. Следует так выбирать значения данных переменных, чтобы:

  • Действовали некоторые ограничения вида линейных неравенств или же неравенств в отношении переменных $x_1, x_2,…, x_n$.
  • Линейная функция $f$ переменных являлась максимумом (минимумом).

Общая задача линейного программирования – это задача, где оптимизируемая функция цели является линейной комбинацией известных коэффициентов $c_j$ и неизвестных переменных $x_j$ вида:

Рисунок 1. Функция. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Функция $f$ также называется целевой функцией или же критерием эффективности.

Найти решение задачи линейного программирования означает отыскать значения переменных $x_j$, которые удовлетворяют ограничениям, а целевая функция при таких значениях принимает максимальное или минимальное значение.

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

Экономическая интерпретация задач линейного программирования

Пример. Пусть требуется определить план выпуска четырех видов продукции А, В, С, D, для изготовления которых используются ресурсы трех видов: трудовые, мате­риальные, финансовые. Количество каждого i-го вида ресур­са для производства каждого j-го вида продукции называют нормой расхода и обозначают аij. Количество каждого вида ресурса, которое имеется в наличии, обозначают bi (табл. 3).

Из табл. 3 видно, что для выпуска единицы продук­ции, например, вида А, требуется шесть единиц трудовых ресурсов, вида С — 11 единиц материальных ресурсов и т. д. Предприятие располагает 12000 единиц финансовых ре­сурсов, 2000 единиц материальных, 800 единиц трудовых. Исходя из рыночного спроса и производственно-техноло­гических возможностей (производственной мощности, уров­ня специализации, минимальных объемов выпуска), заданы верхние и нижние предельные границы выпуска каж­дого вида продукции (в натуральных или стоимостных еди­ницах).

Исходные данные таблицы по удельному расходу мате­риальных и трудовых ресурсов проставляются в соответ­ствии с действующей на предприятии нормативной и тех­нологической документацией. Так, нормы расхода матери­альных ресурсов на каждое изготовляемое предприятием изделие содержатся в маршрутных ведомостях. Нормы тру­доемкости изготовления изделия — в нормо-расценочных ведомостях или картах технологических процессов. При­чем по строке «трудовые ресурсы» проставляется сводная трудоемкость изготовления изделия в нормо-часах как сум­марная по всем деталеоперациям этого изделия. А по стро­ке «материальные ресурсы» — норма расхода наиболее де­фицитного (лимитируемого) вида материалов в принятых для этого материала единицах измерения (т, кг, м, л и др.). Впрочем, не исключена возможность представления всех исходных данных таблицы и в стоимостных единицах, как они проставлены по строке «финансовые ресурсы». Под удельным расходом финансовых ресурсов можно понимать, например, капиталоемкость производства каждого изде­лия, обусловленную необходимостью капитальных вло­жений в новое строительство или реконструкцию действую­щего производства. Если наличие каждого вида ресурсов (bi, i = 1, 2, 3) выражено в табл/ 3 в стоимостных еди­ницах, то очевидно, что суммарный запас ресурсов пред­приятия составляет 14800 денежных единиц.

Читать еще:  Отечественные языки программирования для учебных целей

На основании исходных данных требуется составить математическую модель для определения плана выпуска продукции.

Решение. Обозначим через х1, x2, х3, х4 — количе­ство выпускаемой продукции видов А, В, С, В, которое необходимо определить.

Теперь составляем ограничения. Из табл. 3 видно, что для выпуска единицы продукции А требуется 6 единиц трудовых ресурсов, B, С, D — соответственно 4, 2, 1 еди­ниц трудовых ресурсов. Тогда необходимый трудовой ре­сурс для выпуска всех видов продукции будет равен .

Очевидно, что потребный ресурс не может превышать располагаемый, т.е. для трудового ресурса будет справедли­во неравенство

где 800 — располагаемый ресурс (табл. 3).

Если составить аналогичные зависимости для остальных видов ресурсов и добавить предельно допустимые значения выпуска каждого вида продукции, то получим систему:

В этой системе неравенства, устанавливающие зависи­мости для ресурсов, — ограничения, а предельно допусти­мые значения переменных — граничные условия. В огра­ничениях левые части неравенства — потребные ресурсы, а правые — располагаемые.

Если в неравенства ввести дополнительные переменные: , то можно записать

В этой системе уравнений дополнительные переменные означают разность между располагаемым ресурсом и по­требным и, следовательно, равны недоиспользуемым вели­чинам ресурсов, т.е. это резервы каждого вида ресурсов.

Очевидно, что система, содержащая 3 уравнения и 7переменных, имеет бесчисленное множество решений, т.е. различных вариантов плана. Все эти возможные варианты, включающие удовлетворяющие системе значения основных и дополнительных переменных, являются допустимыми планами.

Если получить оптимальное решение очень важно, то иметь допустимое решение — необходимо.

Итак, любая, разумеется, правильно составленная (как и в данном примере) задача планирования имеет бесчис­ленное множество допустимых решений. Какое из них выбрать?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо сформули­ровать задачу оптимизации в какой-либо из двух взаимоис­ключающих постановок.

Обозначим F — ресурсы, R — результат их примене­ния. Тогда при заданных зависимостях результата и по­требных ресурсов от количества выпускаемой продукции обе постановки распределения ресурсов в сокращенной записи можно представить:

— для первой постановки —

— для второй постановки —

где F*, R* — заданные (плановые или прогнозируемые) ве­личины ресурсов и результата.

Для составления модели в какой-либо постановке по­требуются дополнительные данные относительно единич­ной эффективности производства и реализации каждого вида продукции предприятия, например, прибыль от реа­лизации единицы продукции каждого вида и плановая при­быль в целом от производства всей продукции.

Пусть для продукции видов А, В, С, D она составит соответственно 5, 6, 7 и 8 денежных единиц, а суммарная прибыль от всего производства должна быть не менее 3000 денежных единиц.

Тогда для первой постановки к уже составленной систе­ме ограничений и граничных условий добавляем целевую функцию и получаем математическую модель:

Для второй постановки:

Так как — резервы по ресурсам, то максими­зация их суммы обеспечивает минимизацию используемых ресурсов.

Из решения задачи в двух различных постановках (см. табл. 4) видно, что результаты решения тоже различные.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector