Дайте экономическую интерпретацию задачи линейного программирования

Экономическая интерпретация решения задач линейного программирования;

Любая экономико-математическая модель лишь упрощенно, грубо отражает реальный экономический процесс, и это упрощение существенно сказывается на получаемых результатах.

Получить оптимальное решение задачи линейного программирования можно с помощью компьютера, если предварительно подготовить и ввести в компьютерную программу необходимые данные. Но исследователя вряд ли бы устроила заключительная симплекс-таблица, из которой можно было бы получить только список переменных и их значения. Ведь для экономистов важно не столько найти оптимальный план задачи, сколько провести исчерпывающий экономико-математический анализ модели.

На самом же деле результирующая симплекс-таблица содержит весьма важные данные, лишь небольшую часть которых составляют оптимальные значения переменных. Из симплекс-таблицы можно получить информацию относительно:

1. Оптимального решения;

2. Статуса ресурсов;

3. Ценности каждого вида ресурсов;

4. Чувствительности оптимального решения к изменению запасов ресурсов, вариациям коэффициентов целевой функции и интенсивности потребления ресурсов.

Сведения, относящиеся к первым трем пунктам можно получить из итоговой симплекс-таблицы. Получение информации, относящейся к четвертому пункту, требует дополнительных вычислений.

С точки зрения практического использования результатов решения задач линейного программирования классификация переменных на базисные и небазисные не имеет значения и при анализе оптимального решения может не учитываться. Переменные, отсутствующие в симплекс таблице в столбце «базисные переменные», обязательно имеют нулевое значение. Значения остальных переменных приводятся в столбце «свободные члены».

Статус ресурса определяется тем является ли он дефицитным или недефицитным, то есть полное или частичное его использование предусматривает оптимальное решение задачи. Соответствующую информацию можно получить по значениям дополнительных переменных. Положительные значения которых указывают на неполное использование соответствующего ресурса, т. е. данный ресурс является недефицитным. Если же дополнительная переменная равна нулю, то это свидетельствует о полном потреблении ресурса.

Если в результате анализа выявляется, что дефицитным является ни один ресурс, а несколько, возникает вопрос: какому из дефицитных ресурсов следует отдать предпочтение при вложении дополнительных средств на увеличение их запасов, с тем чтобы получить от них максимальную отдачу. Ответ на этот вопрос можно получить, рассмотрев ценность различных ресурсов.

Ценность ресурса характеризуется величиной улучшения оптимального значения Z, приходящегося на единицу прироста объема данного ресурса. Ценность ресурса нельзя отождествлять с действительной ценой ресурса, по которой возможна его закупка, так как ценность ресурса – это некоторая экономическая мера, количественно характеризующая ресурс относительно полученного оптимального значения Z.

Таким образом, анализ модели не менее важен, чем получение оптимального решения по модели, а в некоторых случаях анализ дает больше информации для принятия решения, чем само решение.

Дайте экономическую интерпретацию задачи линейного программирования

Итак, для нахождения оптимальной производственной программы необходимо такое решение системы многих уравнений с многими неизвестными, при котором критерий (целевая функция) достигает оптимума. Система уравнений и неравенств (24.1) — (24.5), (24.7) обладает следующим свойством она линейна относительно неизвестных. Это означает, что неизвестные входят в уравнения, неравенства и критерий лишь в первой степени и что отсутствуют произведения неизвестных. Методом решения подобных задач, которые носят название задач линейного программирования, служит так называемый симплекс-метод. Симплекс-метод изложен в целом ряде книг. Ограничимся лишь его технико-экономической интерпретацией. [c.413]

Один из видов решения имеет особое значение для экономической интерпретации задачи линейного программирования. Оказывается, каждой прямой задаче линейного программирования соответствует другая, симметричная ей задача. Если прямой можно называть задачу максимизации выпуска продукции ( ли объема реализации , прибыли и т. д.), то двойственная заключается, наоборот, в минимизации затрат ресурсов. Ее целевая функция — сумма произведений цепы каждого ресурса на его количество — равна целевой функции прямой задачи. Сот в этой цене — коренной смысл задачи линейного программирования как оптимизационной. Именно ее называют объективно обусловленной оценкой., или оптимальной оценкой, или разрешающим множителе. . [c.124]

Интересной и очень широко используемой особенностью задач линейного программирования является то, что каждой из них соответствует определенная, тесно связанная с ней другая задача линейного программирования, получившая название двойственной. Оказывается, что упоминавшиеся выше объективно обусловленные оценки единицы каждого вида продукции и затрачиваемых производственных факторов сами являются решениями некоторой задачи на максимум — двойственной задачи. Поясним теперь, как естественным образом возникает задача, двойственная к задаче раскроя, и дадим ее экономическую и геометрическую интерпретации. [c.15]

Метод линейного программирования, наиболее распространенный в прикладных экономических исследованиях ввиду его достаточно наглядной интерпретации, позволяет хозяйствующему субъекту дать обоснование наилучшему (по формальным признакам) решению Е условиях более или менее жестких ограничений относительно доступных для предприятия ресурсов. С помощью линейного программирования в анализе финансово-хозяйственной деятельности решается ряд задач, в первую очередь относящихся к процессу планирования деятельности — он позволяет отыскивать оптимальные параметры выпуска и способы наилучшего использования имеющихся ресурсов. [c.141]

В теории линейного программирования доказывается, что независимо от экономической интерпретации исходной и двойственной задач, а также от характера ограничений ( ), если решение ЛП-задачи на максимум или на минимум существует, то оптимальное (максимальное или минимальное) значение целевой функции в исходной задаче должно быть в точности равно оптимальному (минимальному или максимальному) значению целевой функции двойственной задачи. [c.72]

Метод разложения (декомпозиции) был разработан для решения задач линейного программирования большой размерности, имеющих блочную структуру. Его вычислительная процедура главным образом основана на идеях модифицированного симплекс-метода. Однако значение метода Данцига—Вулфа состоит не только и (не столько) в его вычислительных преимуществах, сколько в возможности дать содержательную экономическую интерпретацию. Метод предусматривает разложение исходной задачи (5.6)—(5.9) на локальные задачи, соответствующие обособленным частям объединения (в данном случае предприятиям), и главную задачу (соответствует объединению в целом и связывает эти локальные задачи). [c.179]

Линейное программирование в экономическом анализе

История появления линейного программирования

Основа выполнения любой задачи – это приятие кем-либо оптимального решения. Оптимальное решение позволяет достичь цель в заданных условиях с максимальным эффектом. Появление математических исследований конкретных проблем экономики приходится на конец 19-го- начало 20-го века.

К. Маркс описал в своей модели расширенного воспроизводства традиционное использование математических методов для формализованной характеристики. Данная модель стала первой макроэкономической моделью, которая позволяет открыть важные особенности производства.

Создатель математической школы Л. Вальрас в 1974 году разработал единую статистическую экономико-математическую модель народного хозяйства, которая стала называться системой общего равновесия экономики.

В модели Вальраса рациональными элементами являются постановка экстремальной задачи на экономики в целом и подход к стоимости как составляющей поиска общего оптимума.

В 1897 году известным буржуазным экономистом-математиком Парето на основе статистического материала была установлена закономерность распределения доходов в обществе в виде гиперболы – «кривая Парето».

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

В 1904 году русский экономист-математик В. К. Дмитриев создал уравнения связи расходов и выпуска продукции, использованные в дальнейшем американским экономистом В. Леонтьевым с целью построения баланса «затраты-выпуск».

Данные работы являются первыми попытками построить экономико-математическую модель. Их разработка разделила экономико-математический анализ статистических данных на два направления:

1. Использование методов с целью характеристики экономических явлений;
2. Для определения зависимости между ними.

В 1939 году ленинградским государственным университетом была выпущена книга Л.В. Канторовича «Математические методы организации и планирования производства». И лишь только через десять лет метод линейного программирования был переоткрыт в другой форме в США. Статьи по данной проблеме были опубликованы в 1949 году, в них Дж. Данциг излагал свой симплексный метод, который имеет много общих черт с методом последовательного преобразования плана, применявшимся Л. В. Канторовичем в решении практических задач.

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Еще до Канторовича в России публиковались работы, содержавшие предпосылки к определению линейного программирования. Например, в 1930 году экономисты-транспортники, чтобы построить оптимальный план перевозок, разработали транспортную задачу в сетевом виде и решили ее без использования математического обоснования.

Работы по линейному программированию стали часто издаваться в 1950-х годах, когда велась детальная разработка основных методов решения, создавалось множество различных алгоритмов, применялись в практике новые методы, появлялась обширная литература.

Помимо методов решения задач линейного программирования, выпускались работы, содержащие методы динамического и нелинейного программирования.

Характеристика метода линейного программирования

Линейное программирование в экономическом анализе позволяет обосновать наиболее оптимальные экономические решения при жестких ограничениях, которые относятся к применяемым ресурсам в производстве (основные фонды, трудовые ресурсы, материалы и т.д.).

Применяя данный метод, можно решать задачи планирования деятельности предприятия. С его помощью можно определить оптимальную величину выпуска продукции, направления эффективного применения имеющихся производственных ресурсов.

Метод линейного программирования позволяет решать экстремальные задачи, когда определяются крайние значения, т.е. максимум и минимум функций переменных.

Линейное программирование применяется также при анализе переменных величин, когда имеют место определенные ограничивающие факторы.

Распространено решение транспортной задачи посредством линейного программирования. Сущность данной задачи состоит в минимизации затрат, которые возникают при эксплуатации транспортных средств в условиях ограничений относительно количества данных транспортных средств, продолжительности работы, грузоподъемности и т.д.

Помимо этого, линейное программирование позволяет решить задачу составления расписания. Необходимо распределить время функционирования персонала таким образом, чтобы оно было приемлемым для каждого сотрудника, а также для клиентов компании. Задача в данном случае состоит в максимизации количества клиентов при ограничениях количества персонала и рабочего времени.

Из всего вышесказанного следует, что линейное программирование в экономическом анализе весьма распространено: оно применяется при анализе использования и размещения ресурсов, при планировании и прогнозировании деятельности компании.

Общая задача линейного программирования

Среди большого количества оптимизационных задач выделяются задачи линейного программирования, которые имеют специфические черты.

В каждой задаче элементы решения – это ряд неотрицательных переменных $x_1, x_2,…, x_n$. Следует так выбирать значения данных переменных, чтобы:

• Действовали некоторые ограничения вида линейных неравенств или же неравенств в отношении переменных $x_1, x_2,…, x_n$.
• Линейная функция $f$ переменных являлась максимумом (минимумом).

Общая задача линейного программирования – это задача, где оптимизируемая функция цели является линейной комбинацией известных коэффициентов $c_j$ и неизвестных переменных $x_j$ вида:

Рисунок 1. Функция. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Функция $f$ также называется целевой функцией или же критерием эффективности.

Найти решение задачи линейного программирования означает отыскать значения переменных $x_j$, которые удовлетворяют ограничениям, а целевая функция при таких значениях принимает максимальное или минимальное значение.

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

Экономическая интерпретация двойственной задач

Прежде чем приступить к разработке математической модели рассмотрим экономическую интерпретацию двойственной задачи.

Экономическую интерпретацию двойственной задачи рассмотрим на примере задачи оптимального использования ограниченных ресурсов. Для производства п видов продукции используется т видов ресурсов, запасы которых ограничены значениями b₁ ( ). Норма расходов каждого ресурса на единицу продукции составляет а_ij . Цена единицы продукции j–го вида равняется с_j . Математическая модель задачи имеет такой вид:

Прямая задача состоит в определении такого оптимального плана производства продукции X * = (х*₁, х*₂, . х*_п), который дает максимальный доход.

Двойственная задача по отношению к поставленной прямой имеет вид:

Экономическое содержание двойственной задачи состоит вот в чем. Определить такую оптимальную систему двойственных оценок ресурсов у_i, используемых для производства продукции, для которой общая стоимость всех ресурсов будет наименьшей. Поскольку переменные двойственной задачи означают ценность единицы і–го ресурса, их иногда еще называют теневой ценой соответствующего ресурса. С помощью двойственных оценок можно определить статус каждого ресурса прямой задачи и рентабельность изготавливаемой продукции.

Ресурсы, которые используются для производства продукции, можно условно разделить на дефицитные и недефицитные в зависимости от того, полное или частичное их использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи. Если двойственная оценка y_i, в оптимальном плане двойственной задачи равняется нулю, то соответствующий i–й ресурс используется в производстве продукции не полностью и является недефицитным. Если же двойственная оценка у_і > 0, то и ресурс используется для оптимального плана производства продукции полностью и называется дефицитным. В этом случае величина двойственной оценки показывает, на сколько увеличится значение целевой функции Z, если запас соответствующего ресурса увеличить на одну условную единицу.

Анализ рентабельности изготавливаемой продукции выполняется с помощью двойственных оценок и ограничений двойственной задачи. Левая часть каждого ограничения двойственной задачи является стоимостью всех ресурсов, которые используют для производства единицы j–ой продукции. Если эта величина превышает цену единицы продукции (с_j), изготовлять продукцию не выгодно, она нерентабельнаяи в оптимальном плане прямой задачи соответствующая х_j = 0. Если же общая оценка всех ресурсов равняется цене единицы продукции, то изготовлять такую продукцию целесообразно, она рентабельнаяи в оптимальном плане прямой задачи соответствующая переменная x_j > 0.

Экономическая интерпретация двойственных задач и анализ экономико–математических моделей на чувствительность с помощью теории двойственности дают возможность модифицировать оптимальный план задачи линейного программирования соответственно изменяющимся условиям прямой задачи и получить при этом такие результаты.

1. Изменение разных коэффициентов в прямой математической модели может повлиять на оптимальность и допустимость полученного плана и привести к одной из таких ситуаций:

• состав переменных и их значения в оптимальном плане не изменяются;

• состав переменных остается предыдущим, но их оптимальные значения изменяются;

• изменяются состав переменных и их значения в оптимальном плане задачи.

2.Включение дополнительного ограничения в математическую модель задачи влияет на допустимость решения и не может повлиять на улучшение значения целевой функции.

3.Включение новой переменной в математическую модель задачи влияет на оптимальность предыдущего плана и не ухудшает значения целевой функции.