Квадратичное программирование онлайн - IT Новости из мира ПК
Semenalidery.com

IT Новости из мира ПК
82 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Квадратичное программирование онлайн

Особенности задач нелинейного программирования

Большинство существующих методов в нелинейном программировании можно разделить на два больших класса:

  1. Прямые методы — методы непосредственного решения исходной задачи. Прямые методы порождают последовательность точек – решений, удовлетворяющих ограничениям, обеспечивающим монотонное убывание целевой функции.
    Недостаток: трудно получить свойство глобальной сходимости.
    Задачи с ограничениями в виде равенств.
    Метод замены переменных (МЗП)
  2. Двойственные методы — методы, использующие понятие двойственности. В этом случае легко получить глобальную сходимость.
    Недостаток: не дают решения исходной задачи в ходе решения – оно реализуемо лишь в конце итерационного процесса.
    • Метод множителей Лагранжа (ММЛ)
    • Методы штрафов
    • Метод множителей
    • Методы линеаризации для задач условной оптимизации
      Алгоритм Франка–Вульфа
      Метод допустимых направлений Зойтендейка
    • Метод условного градиента
    • Метод проекции градиента
    • Сепарабельное программирование.
    • Квадратичное программирование

Методы поиска нулей функции

  1. Метод Ньютона (Метод касательных)
  2. Метод хорд
  3. Комбинированный метод
  4. Метод итераций
  5. Метод секущих

Методы минимизации функций

Функция одной переменной

Функция двух переменных

  1. Матрица Гессе. . Позволяет ответить на вопрос является ли функция выпуклой или вогнутой, а также определить тип экстремума (минимум или максимум).
  2. Производные второго порядка
  3. Экстремум функции двух переменных.

Методы прямого поиска

  1. Метод Хука–Дживса
  2. Метод сопряженных направлений (метод Пауэлла). Найти минимум целевой функции методом сопряженных направлений: f(x)=3x1 – x1 3 + 3x2 2 + 4x2. x 0 =(0.78;1)

Градиентные методы

  1. Метод наискорейшего спуска (метод Коши).
  2. Метод Ньютона
  3. Метод Марквардта. Найти минимум функции: y=x1 2 +4x2 2 +x1x2+1-5x2 методом Марквардта с начальной точкой (10;10) и εxy= ε|f(x)|=0.5. Предельное число итераций равно M=5.
  4. Метод сопряженных градиентов (метод Флетчера-Ривса).
  5. Метод Бройдена–Флетчера–Гольдфарба–Шанно (квазиньютоновские методы).

Нелинейное программирование

Прямые методы

  1. Метод множителей Лагранжа. В задачах 301-320 используя метод множителей Лагранжа найти точки экстремума функции z=f(x,y) при заданном условии: z=xy+7x , 2x+y=1
  2. Условия Куна-Таккера.

Метод проекции градиента.
Метод условного градиента.

Методы линеаризации для задач условной оптимизации

Методы перебора применимы для отыскания экстремумов унимодальных целевых функций. Действие любого из методов поиска заключается в сужении области поиска экстремума (длины l 0):
а) до области заданной длины (e> 0), проводя минимальное число измерений значений функции (методы дихотомии, золотого сечения);
б) до наименьших возможных размеров ln при заданном числе измерений n (метод Фибоначчи).
Первая формулировка целесообразна в том случае, если с каждым измерением связаны значительные затраты средств или времени, однако на поиск отпускаются неограниченные средства, которые мы все же стремимся минимизировать; вторая – когда исследователь располагает ограниченными средствами и, зная расходы, связанные с каждым измерением, стремится получить наилучший результат.

Классические методы нахождения экстремумов функций предполагают, что целевые функции непрерывные и гладкие. Для существования точки экстремума должны выполняться необходимые и достаточные условия. Необходимыми условиями существования экстремума являются требования обращения в нуль частных производных первого порядка целевой функции по каждой из переменных. Точка, найденная из необходимых условий, называется стационарной (подозрительной на оптимальную). В качестве стационарных точек могут быть точки перегиба, седловые точки и др. Поэтому необходим учет достаточных условий нахождения экстремумов функций. Он сложен для функций многих переменных как в алгебраическом, так и в вычислительном плане. Так в случае функции двух переменных достаточным условием существования экстремума будет положительная определенность матрицы А размером 2×2 (условие Лежандра-Клебша), составленной из вторых частных производных функции. Недостатком классического метода дифференциального исчисления является и то, что он дает возможность найти экстремум только в том случае, если он лежит внутри области определения функции. Если экстремум находится на границе области определения, то этот метод становится бессильным.

Методы покоординатного спуска относятся к группе приближенных методов нелинейной оптимизации и направлены на уменьшение трудностей, связанных с отысканием экстремума функции цели со сложной аналитической структурой классическими методами дифференциального исчисления. Суть этих методов заключается в продвижении от исходной точки в области определения функции к точке оптимума итеративно; в методе Гаусса – последовательно по каждой из переменных (покоординатно); в градиентных методах – одновременно по всем переменным в направлении градиента или антиградиента.

Критерием окончания итеративных процедур является равенство нулю всех частных производных целевой функции, или квадрат суммы всех частных производных целевой функции должен быть не более заданного числа e, или разность достигнутого значения целевой функции и значения в предыдущей точке должна быть не более e и другие.

Читать еще:  Return code 1603 hp ошибка

Квадратичное программирование онлайн

Рассматривается задача о поиске наибольшего или наименьшего значения целевой функции F = (X,AX) + (L,X) + C в случае произвольной матрицы «A» квадратичной формы. Область изменения аргументов «X» задается системой линейных ограничений-равенств и линейных ограничений-неравенств. Упрощающих требований о положительной определенности квадратичной формы при минимизации функции или отрицательной определенности квадратичной формы при максимизации функции здесь не накладывается. Квадратичной функцией можно аппроксимировать произвольную нелинейную функцию (решая проблему математического программирования), при этом, знакопостоянства квадратичной формы, как правило, не ожидается. В этом случае необходимо решать задачу оптимизации с произвольной матрицей квадратичной формы.

Точное решение

Предлагается принцип точного решения задачи, не опирающийся на какие-либо модификации градиентных или иных методов спуска. В основу поиска глобального экстремума функции взят хорошо известный алгоритм вычисления наибольшего или наименьшего значения функции на компакте — отбор глобального экстремума из множества всех локальных экстремумов внутри области и на границе. Разумеется, далеко не всегда область, заданная системой ограничений, компактна. Для неограниченной области в предлагаемом методе вводятся дополнительные условия, отсекающие от нее компактную часть. Затем предельным переходом при сдвиге дополнительных ограничений на бесконечность получаем точное решение для заданной неограниченной области.

Бесплатная апробация метода

Всем желающим предлагается бесплатная возможность проверить описанную выше идею на конкретных примерах. Для чистоты эксперимента примеры Вы создаете сами и предлагаете автору решить их. Получив решение, можете всесторонне его проанализировать, чтобы убедиться в работоспособности предложенного алгоритма или забраковать его.
Программная апробация. Для того, чтобы избежать недоразумений в описании примера, составлена программа. Ее можно скачать здесь. Этот файл является самораскрывающимся архивом, содержащим четыре файла: qpu.exe, qpu.aux, qpu.t0 и qpu.t1. Все четыре файла должны располагаться в одной папке, исполнимый файл — qpu.exe. Программа qpu.exe позволяет задать числовые параметры задачи квадратичного программирования и запишет их в файл специального формата. Этот файл можно отправить автору bgs@krm.net.ua, который обязуется решить любую присланную задачу или заявить о неспособности получить результат с помощью заявленного алгоритма. В любом случае Вы получите ответ на свою электронную почту.
Задания для апробации online. Числовые параметры задачи квадратичного программирования небольшой размерности, в стандартном виде можно ввести и непосредственно: Структура задачи -> Числовые данные. В этом случае ответ появится на этом сайте через несколько дней на странице Решения задач квадратичного программирования (автор посещает сайт 1-2 раза в неделю).

Примеры


Автор

Буланов Геннадий Станиславович, 1948 г.р., кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики Донбасской государственной машиностроительной академии, г. Краматорск, Донецкой области, Украина.

Калькулятор Интегралов

Вычисление интегралов онлайн
— по шагам и с графиками!

Калькулятор Интегралов позволяет вычислять интегралы и первообразные функций онлайн — совершенно бесплатно!

Наш Калькулятор позволяет проверить решение Ваших математических заданий. Он поможет вам с решением задачи показывая весь ход решения шаг за шагом. Поддерживаются все виды интегрирования включая специальные функции.

Калькулятор Интегралов поддерживает вычисление определённых и неопределённых (первообразных функций) интегралов включая интегрирование функций с несколькими переменными. Кроме этого Вы можете проверить результат своего решения! Интерактивные графики помогут представить и лучше понять функции интегралов.

Чтобы узнать больше о том как пользоваться Калькулятором Интегралов, загляните в раздел «Справка» или ознакомьтесь с примерами.

Ну что ж, теперь — вперед! Успешного интегрирования!

Введите функцию, которую вы хотите проинтегрировать в Калькулятор Интегралов. Не вводите «f(x) =» часть! Калькулятор Интегралов сразу показывает математическое выражение в графическом виде, прямо в процессе ввода. Убедитесь, что это выражение соответствует тому, что Вы хотели ввести. Используйте скобки если понадобится, например «a/(b+c)«.

В разделе «Примеры», приведены некоторые из функций которые Калькулятор Интегралов способен вычислять.

После того как Вы закончили вводить вашу функцию, нажмите «=» и Калькулятор Интегралов выдаст результат.

В разделе «Настройки» переменная интегрирования и пределы интегрирования могут быть установлены/изменены. Если пределы интегрирования не будут указаны, то будет вычислена только лишь первообразная функция.

Читать еще:  Ошибка 0x80131700 как исправить

Щелчок мышки на примере вводит его в Калькулятор Интегралов. Простое наведение мышки — показывает текст выражения.

Настройте параметры калькулятора:

Генератор заданий для тренировки позволяет сгенерировать сколько угодно различных случайных заданий.

Ниже Вы найдете настройки конфигурации и один из предложенных вариантов задания. Вы можете взяться за его решение (тогда оно будет введено в Калькулятор) или сгенерировать новое.

Вычисляем интеграл: Введите Ваш результат:

Следующее выражение будет вычислено:

Загрузка … пожалуйста подождите!
Это займет несколько секунд.

Это не то, что Вы имели ввиду? Используйте скобки! В случае необходимости, выберите переменную и пределы интегрирования в разделе «Настройки«.

Результаты вычислений

Как работает Калькулятор Интегралов

Для тех кому интересны технические подробности, в этой части рассказывается как устроен и работает Калькулятор Интегралов.

Сначала синтаксический анализатор (па́рсер) анализирует исходное математическое выражение. Он преобразует его в форму более удобную для компьютера, а именно в форму дерева (см. картинку ниже). В процессе такого преобразования, Интегральный Калькулятор должен соблюдать порядок операций с учетом их приоритета. Так же, как и то, что в математических выражениях знак умножения часто опускается, например, мы обычно пишем «5x» вместо «5*x». Калькулятор Интегралов должен уметь понимать такие случаи и сам добавлять знак умножения.

Па́рсер написан на JavaScript, и основывается на алгоритме сортировочной станции, поэтому может исполняться прямо в браузере. Это дает возможность генерировать удобочитаемое выражение на ходу, преобразуя получающееся дерево в код для LaTeX (Ла́тех). С помощью MathJax происходит генерация картинки и ее отображение в браузере.

По нажатию кнопки «=», Калькулятор Интегралов отправляет математическое выражение вместе с параметрами (переменной интегрирования и пределами интегрирования) на сервер, где оно анализируется еще раз. В этот раз выражение преобразуется в форму которая будет понятна системе компьютерной алгебры Maxima (Ма́ксима).

Ма́ксима вычисляет интеграл математической функции. Результат Ма́ксимы снова преобразуется в Ла́тех а затем показывается пользователю. Первообразная вычисляется с помощью алгоритма Ри́ша, который достаточно замысловат для понимания человеком. Именно поэтому задача показывать промежуточные шаги решения интегралов является такой сложной.

Для того чтобы всё-таки показать пошаговое решение, Калькулятор Интегралов использует такие же методы, которыми бы воспользовался человек. Алгоритм, который это осуществляет, разрабатывался в течении нескольких лет и был написан на собственном языке программирования Ма́ксимы. Программа содержит более чем 17000 строк кода. Если интегрируемое выражение совпадает по форме с уже известным, алгоритм применяет заранее определённые правила для решения интеграла (например, метод неопределённых коэффициентов для рациональных функций, тригонометрическую подстановку в интегралах с квадратным корнем из квадратичной функции или интегрирование по частям для продуктов определенных функций). Если же оно не совпадает с уже известным, тогда алгоритм пробует разные подстановки и преобразования пока интеграл не будет решен или пока не закончится отведённое для этого время или же пока не кончатся все возможные варианты. С одной стороны, у Калькулятора нет математической интуиции, которая бы очень помогла в поисках первообразной, но зато, с другой стороны, Калькулятор в состоянии перепробовать большое количество разных вариантов за очень короткое время. Такое пошаговое вычисление первообразной по правилам, зачастую, более компактно и элегантно чем вычисленное Ма́ксимой.

Еще один режим работы «Проверка решения» должен решить сложную задачу по определению являются ли два математических выражения равными друг другу. Разница между выражениями вычисляется и упрощается с помощью Ма́ксимы настолько, насколько это возможно. К примеру, это может быть переписывание тригонометрических/гиперболических функций в их экспоненциальные формы. Если удается упростить разницу до нуля — задача выполнена. В противном случае, применяется вероятностный алгоритм, который вычисляет и сравнивает оба выражения в случайно выбранных местах. В случае с первообразной, вся процедура повторяется для каждой производной, т.к. первообразная может отличаться константой.

Интерактивные графики функций вычисляются в браузере и отрисовываются на Сanvas («Холст») из HTML5. Для каждой математической функции, которая должна быть отрисована, Калькулятор создает функцию JavaScript, которая затем вычисляется с шагом, необходимым для правильного отображения графика. Все сингулярности (например полюса) функции обнаруживаются в процессе отрисовки и обрабатываются отдельно. Управление жестами для мобильных устройств сделано на основе hammer.js.

Читать еще:  Ошибка 492 play market

Если у Вас есть вопросы или пожелания, а так же идеи как улучшить Калькулятор Интегралов, пожалуйста пишите мне на e-mail.

© David Scherfgen 2020 — all rights reserved.

Квадратичное программирование онлайн

Пример решения задачи квадратичного программирования методом Франка-Вульфа

Задача. Найти максимум вогнутой функции

Решение. Найдем градиент функции . В качестве X (0) =(0, 0).

Δf( X (0) )=(2, 4)≠0.│f( X (k+1) ) −f( X (k+1) ))│≤0,01.

1 — итерация. Δf( X (0) )=(2, 4) .

Получили задачу линейного программирования. Решаем ее графически.

Z (0) =(0, 4), X (1) = X (0) + λ (Z (0) − X (0) ) = (0, 0) + λ ((0, 4) − (0, 0)) = (0, 0) + λ (0, 4).

Подставляем полученные значения x (1) 1 и x (1) 2 в целевую функцию, получим

f( λ ) = 16λ − 32 λ 2 → max, f ‘ = 16 − 32 λ = 0, λ =0,25. Следовательно, X ( 1 ) =(0, 1), f( X (1) ) =2.

Проверим условие окончания │f( X (1) ) −f( X ( 0 ) ))│ = │ 2 − 0 │ = 2 > 0,01 . Условие не выполняется, следовательно, переходим к следующей итерации.

2-я итерация. Δf( X ( 1 ) )=(2, 0 ) . F 1 (X) = 2x 1 +0x 2 → max . Решая графически получили

Z (1) =(6,4; 0,8) , X (2) = X (1) + λ 1 (Z (1) − X (1) ) = (0, 1) + λ 1 ((6,4; 0 ,8 ) − (0, 1 )) = (0, 1 ) + λ 1 ( 6,4 ; -0,2).

Подставляем полученные значения x (2) 1 и x (2) 2 в целевую функцию, получим

f( λ 1 ) = 2 +12 ,8 λ 1 − 46,76 λ 2 1 → max, f ‘ = 12,8 − 93,52 λ 1 = 0, λ 1 ≈ 0, 1 5.

Следовательно, X ( 2 ) =(0,96; 0,97), f( X ( 2 ) ) =2,9966.

Проверим условие окончания │f( X ( 2 ) ) −f( X ( 1 ) ))│ = │ 2,9966 − 2 │ = 0,9966 > 0,01 . Условие не выполняется, следовательно, переходим к следующей итерации.

3-я итерация. Δf( X ( 2 ) )=( 0,08; 0,12 ) . F 2 (X) = 0,08 x 1 +0 ,12 x 2 → max . Решая графически получили

Z ( 2 ) =(6,4; 0,8) , X ( 3 ) = X ( 2 ) + λ 2 (Z ( 2 ) − X ( 2 ) ) = (0, 96; 0,97 ) + λ 2 ((6,4; 0 ,8 ) − (0, 96; 0,97 )) = (0, 96; 0,97 ) + λ 2 ( 5,44 ; -0, 17 ).

x ( 3 ) 1 = 0,96+5 , 4 4 λ 2 , x ( 3 ) 2= 0,97 − 0, 17 λ 2 .

Подставляем полученные значения x ( 3 ) 1 и x ( 3 ) 2 в целевую функцию, получим

f( λ 2 ) = 2 ,9966 + 0,4188 λ 2 − 29,6514 λ 2 2 → max, f ‘ = 0,4188 − 59,3028 λ 2 = 0, λ 2 ≈ 0, 007 .

Следовательно, X ( 3 ) =(0,99808; 0,96881), f( X ( 3 ) ) =2,99805.

Проверим условие окончания │f( X ( 3 ) ) −f( X ( 2 ) ))│ = │ 2,99805 − 2,9966 │ = 0,00145 * = X ( 3 ) =(0,99808; 0,96881) и равна f * = f( X ( 3 ) ) =2,99805 .

ITnan

Все публикации Хабрахабр и Гиктаймс в одном месте
Выбран стиль: blue


Как пользоваться словарями (и не только)

  • 03.04.20 16:56 •
  • LeonidFirstov •
  • #495592 •
  • Хабрахабр •
  • 1

Как реализованы конвейеры в Unix +3

  • 03.04.20 16:33 •
  • AloneCoder •
  • #495484 •
  • Хабрахабр •
  • Перевод
  • 26

Почему успехи ИИ DeepMind в Atari вызывают у меня разочарование

  • 03.04.20 16:23 •
  • algotrader2013 •
  • #495476 •
  • Хабрахабр •
  • 7

Google стала показывать отчеты об изменении посещаемости общественных мест в разных странах мира

  • 03.04.20 15:55 •
  • denis-19 •
  • #495582 •
  • Хабрахабр •
  • 5

Самоходная платформа на МК esp8266 с micropyhon

  • 03.04.20 15:50 •
  • RMavrichev •
  • #495576 •
  • Хабрахабр •
  • 2

Коронавирус: опасная иллюзия смертности

  • 03.04.20 15:48 •
  • ilusha_sergeevich •
  • #494896 •
  • Хабрахабр •
  • 9

Самые замечательные программы Unix +2

  • 03.04.20 15:42 •
  • m1rko •
  • #495550 •
  • Хабрахабр •
  • Перевод
  • 492

Больницы используют глубокое обучение для обнаружения коронавируса

  • 03.04.20 15:26 •
  • AnnieBronson •
  • #495584 •
  • Хабрахабр •
  • 193

Сообщество Hardware Ecosystem запускает подкаст для всех, кто работает в отрасли электроники

  • 03.04.20 14:55 •
  • Promwad •
  • #495572 •
  • Хабрахабр •
  • 117

Самоизолируйся и программируй: как не сойти с ума дома и провести время с пользой -1

  • 03.04.20 14:44 •
  • leadersofdigital •
  • #495362 •
  • Хабрахабр •
  • 288

Поиск

Самые читаемые:

Самые обсуждаемые:

2015 ITnan.ru Design by Styleshout.

Права на текст статей, расположенные на сайте, принадлежат их авторам. Источники статей: Хабрахабр и Гиктаймс.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector